這次的諾貝爾物理獎獲獎的理由是
Theoretical discoveries of topological phase transition and topological phases of matter.
這短短的一句話其實包含了很多物理在裡面。首先來個名詞翻譯，讓各位有關鍵字可以自己去查中文相關的資料。phase transition，一般物理上稱之為相變，本身就是一個非常大的研究主題；接著，topological phase，一般翻譯做拓樸相(位)。學過波動物理的人對相位應該不太陌生，但這裡的相位其實不太一樣，稍候做解釋；最後合起來叫topological phase transition，其實我認為得獎最主要是這個部分，為什麼，我們要先解釋一下前兩樣名詞。
先談談相變，其實相變天天發生在生活之中。各位中學物理就學過，水結冰降到零度變固體，升溫到沸點變成水蒸氣。同樣的水，就有三種不同的「狀態」。而每一種狀態，物理上我們把他稱為一種「相」；而相與相之間的變化，就叫做相變。說到這裡你可能以為故事結束了，但其實不然。因為隨著科學的進展，我們發現其實液體(liquid)和氣體(gas)其實差不多，組成都是一群亂糟糟的原子或分子，只是液體粒子間距離比較近，作用力比較強；氣體粒子之間隔的超遠，作用力很薄弱。但從物理的角度上來看，其實並沒有太大的不同。甚至到後來，乾脆給這兩個東西一個名字，叫做流體(fluid)。在物理中有門學科就叫做流體力學(Fluid Mechanics)，是一門很難(滿滿的非線性方程)，但卻很有用的學問。小至毛細現象，大到氣象科學都跟流體力學有關。詳細有關流體力學就不提，因為和接下來要說的關係不大。
當人們把液體氣體統一叫做流體的時候，原本我們所稱呼的「液氣相變」就不存在了，因為這兩個「相」現在是同樣的東西，何來相變可言？因此，既然傳統的分法不適用，那科學家們就要創造新的法則來分類。那該怎麼辦呢？如果我們比較「固體」和「流體」，還記得我說過流體的分子或原子排列是亂糟糟嗎？所謂亂糟糟，就是沒有規則，但固體可就完全不是這麼回事了。隨著顯微技術的進步，人類已經可以直接「看到」原子是一顆顆排的整整齊齊。如此一來，我們就把「排的整齊的」和「排的亂亂的」分成兩組。於是乎，一門專門討論「排得整齊的」學科叫「固態(體)物理」就出現了。固態物理的內容包山包海，幾乎觸及我們生活的每一個部分。我們所熟知的半導體就是屬於固態物理的範疇；而現在硬碟容量動輒好幾TB，則是固體物理的分支磁性物理的研究成果；再來2014年的諾貝爾獎LED，也是固體物理中光電材料的分支。所以舉凡研究固體特性的學科，通通包含在固體物理這個大傘之下。而這次獲得諾貝爾獎的拓樸相變，也是其中之一。
如同我們前面提過，相變可以看做是一種狀態的改變。在古早時期人類對於自然的認知只有固液氣三態。但就在距離今天一百多年前，一件很重要的事情發生了，那就人類首次觀測到超導現象(Superconductivity)。超導的發現困惑了當時所有的人，沒有人知道他是為什麼會發生，我們可以掌握的只有一些實驗參數。而當時超導有一件非常非常重要的事，那就是必須在極低溫的環境下才能觀測到。多低呢？4K，4K是多低呢？大概攝氏零下269度。因為和溫度有了連結，人們很容易連結到古早時我們那個冰融化變水，水蒸發變水蒸氣的經驗。也因為超導的特性實在和一般物質太不相同(零電阻)，於是我們就稱這個變成超導當下的溫度叫「臨界溫度」，如同我們看待融點和沸點一般。而臨界溫度左右兩端的「狀態」的轉變，我們就叫做「超導相變」。而就在大量的研究後，我們發現一個事情極為關鍵，那就是對稱性。
對稱性其實沒有什麼了不起，大家都懂對稱性。正方形轉90度會變回自己，長方形就不行，所以正方形比長方形「對稱」。但真正了不起的地方是，你要怎麼把上面這些「語言」轉化成科學家喜歡的「數學」。這門學科，就叫做群論。20世紀初期由於矩陣理論的蓬勃發展，給了群論更多的養分茁壯。現在群論幾乎深入了固態物理的每一個角落，好像不談點群論就不會物理一樣。那為什麼我們又需要群論來搞定對稱性？先這樣說，我們剛剛提過，固體內部的原子會排得整整齊齊，但整整齊齊有很多種方法可以整整齊齊。你可以堆的四四方方(正方晶體)；你也可以堆的四四方方，但在中間小空隙在塞一顆球(體心立方)；也可以像水果攤賣水果，把橘子堆成小山(最密堆積)。因為排列的方式太多了，我們需要一個數學來描述這樣的物理圖像，這時候群論就當仁不讓地出來carry了。有了群論，我們就可以去探究固體的對稱性，並根據這些結果，再度「分類」固體。耶！所以我們現在可以把固體，因為對稱性的不同，分得更清楚更詳細了。
那對稱性究竟和相變有什麼關係？這個之間的連結可就完全超過科普的範圍了。相關的理論主要是由大物理學家Landau所發展。身為開山祖師，Landau一部分(不要懷疑，真的只是一部分)的研究就在探討對稱性和相變之間的關係，而Landau的同事Ginzburg甚至把這份理論應用在超導相變上，得到了非常好的結果。至此人們已經意識到對稱性在固態物理中似乎有著超乎想像的重要地位，而這一切都必須要感謝Landau和他的同事與學生們在距今70-80年前的努力。說到這裡，其實故事還沒有結束。根據Landau的理論，他預言在二維系統中，在有限溫度下不可能存在「有序相」，有序相你可以把他看做一種排的整整齊齊的狀態。而在二維系統中，一點點溫度所造成的粒子擾動都足以破壞這個有序相。不過，這個預言在1973年被Kosterlitz和Thouless打臉(有本事打臉Landau是一種榮幸)。Kosterlitz和Thouless考慮一個二維磁性模型(鼎鼎大名的XY model)，他們發現縱使在非零溫度的條件下，仍然可以存在相變，也就是著名的KT (phase) transition。而這個相變和之前提出的對稱性理論又有所不同，這種相的轉變會對應到一個拓樸學數(後面會在解釋這是什麼)。也就是說，當相變發生的時候，這個數字就會產生變化(例如從1->2)。就好比自然界有一個顯示表，當他變化的時候，上面的數字會跟著變化，借此告訴你它變了。這個Landau理論沒有預言到相變，代表了他的對稱性理論似乎還存在著些漏洞。而KT兩人所提出的和拓樸學連結的相變，似乎將這塊布掀起了一角，偷偷窺探到了其中的一些秘密。
故事說到這邊要稍微轉個主題，我們來談談另一個外表看似無關，內容卻異常相似量子霍爾效應(Quantum Hall effect)，一般又稱整數霍爾效應(integer QHE)。但在談量子霍爾效應前，就不得不談談150年前所提出的傳統霍爾效應。約150年前，霍爾這位年輕人提出了一個很簡單的概念，簡單到我認為應該當做高中物理教材。這概念就是，如果我們把一塊導電的材料加常數磁場於z方向。接著在x方向加電壓讓他通電，由於勞倫茲力的關係，除了原本在x方向會測量到電流之外，在y方向我們也可以量到一些電流。這個橫向電流我們就把它叫做霍爾電流，而兩端的電壓就叫做霍爾電壓，將霍爾電壓除以霍爾電流，我們就可以得到霍爾電阻(R=V/I，國中理化)。不過物理學家發現，其實在固態材料中，電導率做為電阻的倒數，是對於材料電性更為重要的參數，所以這邊我們就再定義電導率叫做S好了。事情就這麼經過一百年，一個看似用高中物理就能解釋的現象，在1970年代卻掀起了巨大的波瀾。1980年，德國物理學家Klaus von Klitzing與他的快樂夥伴在PRL上發表了一篇震古鑠今的論文：
http://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.45.494
文章內提到在極低溫(<10K)，強磁場(>1T)的條件下，他們觀察到隨著磁場強度階梯式分布的霍爾電導率S。這件事情非常非常地詭異，原因是物理世界變化常常都是連續的，像階梯一樣的分布是當初絕對沒有預期到的現象。更厲害的是，這個階梯式的電導率的值正好等於3.86e-5*n，n在這裡等於正整數。這下好啦，除了原子內分布之外，我們居然又在另一個地方找到了這種量子現象。而von Klitzing也因為這項成就，在五年後就拿到了諾貝爾物理獎，而且還是一人獨得。但von Klitzing是實驗物理學家，他留下兩個巨大的謎團，那就那個整數n到底是哪裡來的阿？前面的3.86e-5又是怎麼得到的？幸運的是，這個問題在兩年內就獲得了解決，出馬的就是這次的諾貝爾獎得主Thouless。Thouless於1982年在PRL上和同事們發表了一篇文章
http://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.49.405
這篇文章提出了一個很簡單的模型(至少對訓練有素的固體物理學家很簡單)。Thouless等人提出了一個單電子模型，在週期位能的情況下，在強磁場引入Landau規範(Landau gauge)，就能算出Landau能階(Landau level) (你沒看錯是同一個Landau)，就可以算出在這個系統中的電導率為 S=(e^2/h)*n，其中e是電子電量1.6e-19庫倫，h是普郎克常數6.626e-34，你把這兩個常數代入上面式子，你會發現正好等於3.86e-5。而那個n又是怎麼回事，Thouless在文章裡提到如何求出n(物理人要讀paper請看Eq. 5)，當時他發現這個式子在數學上居然一定會是一個非負整數，這個非負整數剛剛好對應到數學領域中，拓樸學的Gauss-Bonnet定理，而這個非負整數則稱為陳數(Chern number)[註1]。河裡雪，要是我這輩子有一個這樣的發現，我大概可以吹噓一百年。因為在物理上，這類的發現真的真的不多。但我想在1973年就把拓樸引入物理的Thouless，這可以說是在自然不過的現象了。而再次把拓樸引進物理的Thouless，兩項偉大的成就讓他理所當然地分了這次1/2的諾貝爾獎金囉！
說到這裡我們就可以再次回到相變之中。前面我們已經提到Thouless藉由拓樸學，擴展了我們對相變的分類。而新發現的量子霍爾效應，也馬上被他納入了拓樸分類學的範疇之中。可是，物理學家馬上發現了新的問題。剛剛提到，拓樸分類相較於對稱性分類，是一種更為廣義的理論。所謂廣義，就是除了可以預言新的現象，對於舊的結果也要一併的包容。如果不能包容，那代表一定還有什麼沒考慮清楚。可是對於量子霍爾效應，相關的材料的對稱性其實都研究過了，並無法預言會有這麼神奇的現象發生。那拓樸學應用在這個地方，為何會出現不同的結果呢？答案就在於因為我們加了磁場的原故。在我們考慮「排得整齊的」物體對稱性之前，其實還有兩個對稱性是所謂「universal」的。也就是無論在任何物理系統，如果你沒有特別對它做什麼事，這兩樣對稱性基本上它都會存在。而這兩個universal symmetries，一個是所謂空間反轉對稱性；另一個則是時間反演對稱性。所謂空間反轉對稱性，又被稱為宇稱(Parity)。沒錯你猜對了，就是楊振寧李振道所提出的宇稱不守恆裡面的宇稱。就是在空間中，你把宇稱運算子P作用在空間函數上，如果P[f(r)]=f(r)，這個系統就叫做偶宇稱；如果P[f(r)]=f(-r)，這個系統就叫做奇宇稱。但無論是什麼宇稱，量子霍爾效應都沒有牽涉到破壞宇稱這件事。那合理懷疑，兇手肯定就是時間反演對稱性囉！(神推理)。沒錯一個系統如果加了磁場，它的時間反演對稱性就會被破壞，至於為什麼會被破壞這邊就不解釋啦，有興趣的人可以藉由法拉第磁光效應來想想看為什麼磁場會破壞時間反演對稱。OK，到這裡我們的知識又稍為拓展一點點，原本我們已經知道對稱性是決定物質相變的原因對吧？那有對稱性會產生相變，那把原本有的對稱性搞到沒有了(破壞對稱性)，是不是也會產生相變呢？答案當然是肯定！也就是說，對物理學家來講，物質相的轉變，對應到一個對稱性的改變，無論是從無到有(水結冰變固體，或是水結晶成漂亮的雪花)，還是從有到無(加磁場破壞時間反演對稱)，甚至是從A對稱變到B對稱(固體低溫時的超導相變)。這個觀念超級無敵霹靂宇宙重要，只要有了這個概念，對於很多的物理現象，你就能做出一個定性的描述了。所以說到這裡，人們終於了解，對稱性和拓樸相是一體兩位的東西。但拓樸相位更近一步的把原本較為狹隘的晶體對稱性，拓展到了所有的對稱性。這件事看似只是一個小小的進展，但後面可以延伸出的相當多的物理，其中一項分支就是所謂的拓樸絕緣體(Topological insulators)。別小看這個分支，它可算是近十年固態物理中發展最火熱的研究項目。而拓樸絕緣體跟誰有關係呢？三個人還沒提到誰？當然就是普林斯頓大學的Haldane囉。
其實在Thouless把拓樸學引進物理前後，同時期還有許多物理學家試圖對QHE做出物理解釋，其中一個最有名的就是Robert Laughlin。Laughlin這個人很有趣，有趣到一定要稍微提一下。當初他提出QHE的解釋，雖然內容後來證明和拓樸理論等價，但當時其實和拓樸沒有直接關連(有興趣的人可以查一下 Laughlin pump)，不過他的圖像仍然可以說明那個神奇的非負整數n是哪裡來的。有趣的是Laughlin根據自己提出的理論，表示這個n除了整數絕對不會有其他情況了。結果就在1982年，崔琦等人再重複von Klitzing的實驗時，就測到了這個n可以是分數。被打臉的Laughlin自己再提出一套修正理論否定過去的自己，然後和崔琦，Stoemer拿了1988年的諾貝爾物理獎。所以說，人有時候否定自己也不一定是一件壞事。
另一個同時期對QHE研究的人就是Haldane了，只不過Haldane的思路是走另外一條線。Haldane當初提出了一個問題：「有沒有可能在不加磁場的情況下，就可以打破時間反演對稱，進而得到量子霍爾效應呢？」為了解決自己提出的問題，Haldane提出了一個看起來根本不可能實現的模型(就叫Haldane model)。
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.61.2015
他假設一個物質原子排列是蜂巢結構 (真的叫蜂巢結構，英文原名就是honeycomb lattice)。在每個正六邊形中心我放一個磁場，在每六個原子我放六個反方向磁場，且每個是中心強度的六分之一。只要這麼做，雖然我加了磁場，但總和是零(自我感覺良好的不加磁場，你爸媽平均有一顆睪丸的概念)。如此一來，就可以在零磁場條件下，得到量子霍爾效應。雖然Haldane證明了是可以產生量子霍爾效應，連陳數他都一起算好了，但這個模型真的太過天馬行空了。雖然1988年這篇文章在PRL上發表，但卻沒有受到太多人注意。因為這麼詭異磁場分布，實驗上怎麼有可能做的到。於是，Haldane這個模型就從1988年一直被放阿放的。中間他也做了一些其他的事，例如磁性相關的研究。但這篇文章的關注度，一直都不是太高。
可是事情在2005年產生了重大的變化。05和06年可說是拓樸軍團大獲全勝的時期，而濫觴就是下面這篇可能未來諾貝爾獎候選文章：
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.95.226801
2005，費城的賓州大學(巨嬌出來面對！)兩位物理系教授 Charles Kane和Eugene Mele在PRL上(有沒有發現神文都是刊在PRL)發表一篇文章。內容很簡單，探討快被大家遺忘的Haldane模型有沒有被實現的可能性。他們提出，在石墨烯上(天生Honeycomb lattice)，如果考慮由內稟自旋軌道耦合效應(intrinsic spin-orbit coupling)所產生的磁場，是有可能實現Haldane模型的。更厲害的是，對於電子自旋向上是一種Haldane模型，兩個上下自旋加在一起看的時候，靠北阿時間反演對稱性又跑回來啦！等下等下等下，你說時間反演對稱又跑回來？那還有沒有量子霍爾效應？有！但這個量子霍爾效應不一樣，他一定要考慮自旋對於系統的影響，於是我們給它另一個名字，叫做：「量子自旋霍爾效應」。停停停再暫停！我們回顧一下前面說了什麼：「物質相的變化，對應到一個對稱性的變化」。那我們開始從有時間反演對稱，到破壞時間反演對稱，現在又有時間反演對稱了。對稱性是不是又產生變化了？是！所以，這是一個新的物質相(態)嗎？Kane和Mele在這篇文章上，最重要的部分反而是在這個問題上。但他們只給出了像是Thouless算出來的電導率公式(請看paper第五式)，反而大家最感興趣的問題沒回答。不過，這兩個人當然意識到重點在哪裡，馬上又補了一篇PRL出來
http://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.95.146802
這篇文章就真正的奠定了他們倆的地位。在文章他們提出了不同於Thouless的拓樸性質。前面說過Thouless算出的陳數是非負整數，用現在的術語來說叫做Z拓樸不變量(Z topological invariant，Z就是高中數學整數的意思)；而Kane和Mele兩人提出了一個叫做Z2拓樸不變量(Z2 topological invariant)。相較於Z拓樸不變量可是任意非負整數，Z2拓樸不變量只能是0或是1。如果要問為什麼會這樣，其實就跟時間反演對稱性有關。但我知道說下去就不是科普了，所以我就此打住。想了解的人，自行估狗 Z2 topological invariant，就可以找到一大堆文獻可以看。也就是說，如果用拓樸學分類的話，Z2的的確確是前所未見的物質態！故事到這邊可還沒有結束。06年的時候，史丹佛大學的張首晟教授率先將第一個量子自旋霍爾效應的實驗做了出來，真正的Z2物質態霸氣登場，橫空出世了。值得一提的是，張首晟教授的系統並不是利用石墨烯。由於石墨烯的自旋軌道耦合非常的弱，所以他利用了HgTe量子井形成的二維界面來得到量子自旋霍爾效應：
http://science.sciencemag.org/content/314/5806/1757
由於是不太相同的系統，為了分辨，物理學家將Kane和Mele提出的模型稱為 Kane-Mele (KM) 模型；而張首晟與他的學生B. A. Benervig和Taylor Hughes 所提出的系統則稱做BHZ模型。
到這裡Z2拓樸學在固態物理界可說是炸開了，所有人都想進場分一杯羹。但一部份的物理學家(包含KM兩人)更進一步的問，這種Z2拓樸材料有沒有可能在三維世界實現。要知道當初量子霍爾效應是一個二維現象；量子自旋霍爾效應的模型也是在石墨烯或是量子井中實現。有沒有可能，在三維世界中得到量子自旋霍爾效應呢？在這邊其實超級有戲，因為同時期太多人再搶這個三維的頭香。我以下轉述一名中國研究生，在APS年會上演講聽Charles Kane所提到的整個過程，真的比我自己寫還精彩：
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整個報告最精彩的部分是Kane回憶在二維系統的量子自旋霍爾態理論建立後，整個學界爭先恐後向三維進發的過程("Race to Three Dimensions")。聽完之後最大的感觸便是,"商場如戰場"。對於奮鬥在前沿的這些大佬來說，每時每刻都處於戰爭狀態，一不留神就貽誤了戰機。讓我們把時鐘回撥到2006年的夏天。七月初的費城，晴空萬里，豔陽高照。Charles Kane教授在自己的辦公室親切會見了來訪的Liang Fu同學。賓主雙方進行了親切友好的會談。Kane關切地詢問了Liang Fu同學相關科研的進展情況。
當時的情況是，Kane和Mele剛剛發表了幾篇驚世駭俗的文章，包括"Quantum Spin Hall Effect in Graphene"，引用863次(剛查的數據，下同)；“Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect”，引用769次。他們證明瞭在剛問世的石墨烯材料裡面有可能產生一種全新的拓撲相，是1980年代量子霍爾效應以來第一個真正全新的相(phase)。同時他們提出了一個Z2數來劃分二維空間中的絕緣體：當Z2為偶數時，系統是平凡的絕緣體，並且任何邊緣態都沒法穩定存在，很容易就可以破壞掉。但是當Z2為奇數時，系統就處於所謂的量子自旋霍爾態(下稱QSH態，Quantum Spin Hall state)，並且系統的邊緣態是受時間反演對稱性保護的。與此同時，大家知道，整數量子霍爾效應(下稱QH態，Quantum Hall態)只在二維成立；三維材料裡面至多是二維霍爾效應的平凡疊加，沒有本質不同。於是整個學界就在想，QSH態能否推廣到三維呢？
據Kane的描述，Liang Fu認為三維系統有多個不同的Z2數("I think there are multiple Z2 invariants in 3D.")，而Kane堅持認為只有一個("I think there is just one, which specifies an even or odd number of surface Dirac points.")。他們的爭論非常激烈，而且僵持不下("We had several heated discussions.")。就這樣來來去去幾個回合之後，7月12日早上，Kane正在翻閱arXiv（靠，大牛們每天早上批閱arXiv，我們每天早上批閱校內雜誌），突然，看到一個叫Joel Moore的傢夥與Leon Balents [註2] 連夜發了一篇日誌，叫做《論時間反演不變的能帶中的拓撲不變數》("Topological invariants for time-reversal invariant band structures")。其中他們用數學中的Homotopy理論證明瞭三維空間實際上可以用四個Z2數來窮盡所有可能存在的不同能帶結構("Homotopy theory for 4 Z2 invariants in 3D")，並且順便大筆一揮，把三維空間中具有非零Z2數的材料命名為拓撲絕緣體(Topological Insulator——沒錯，這名字就是這麼來的)。Kane心裡一沉（"My heart suddenly stinks"，至於有沒有停跳兩秒鐘就不知道了。。。)，真是氣不打一處來，媽的，你不僅趕在我面前把結果給搞出來，連名字都起完了，那我幹什麼吃的！於是Kane趕忙給Liang Fu寫郵件，說你看了Joel Moore的文章了嗎？我想他們是對的，你也是，我們得抓緊了("I think they are right, so do you. We need to hurry now.")! 誰知，一波未平一波又起。就在一周後的7月20日，Kane在批閱校內，哦，不是，arXiv時又看到了一篇新的日誌，居然是一個叫Rahul Roy的博士生寫的。他在沒有任何人指導的情況下給出了一組拓撲數，能完整分類三維情況下符合時間反演對稱性的所有哈密頓量，並且預測說三維的QSH態(就是一周前某人剛給冠名的"Topological Insulator")是與二維QSH本質上不同的態(寫到這裡，我覺得和Roy比起來我可以直接去死了)。這下Kane要瘋了，還讓不讓人活了！當年爺預測二維QSH態時可是獨領風騷的(雖然沒多久就被人指出在Graphene的自選軌道耦合太弱，以至於Kane的模型只有在極低溫下才能實現，這是後話了)，難道這麼快就要被掃進歷史的垃圾堆了？不甘心啊不甘心，Liang Fu你快點做，我們再不咬一口這個蛋糕就沒了。好在Liang Fu還是很給力的，他們在7月26日在arXiv上終於發了一篇日誌，題為《三維空間中的拓撲絕緣體》("Topological insulators in Three Dimensions")。這篇文章的亮點在於，他們完整地描述了三維拓撲絕緣體的表面態應該有的性質("Chracterized surface states")，提出了強拓撲絕緣體和弱拓撲絕緣體的概念("Strong vs. weak TIs")，並且給出了一個具體的模型("Explicit model")。這篇文章也是奠基性的，至今引用數超過426次(現在上千次了)。在回顧了這段歷史後，Kane意味深長地說，他們(指Joel Moore、Leon Balents以及Rahul Roy)都是數學上的天才，成功地用Homotopy的理論完成了分類，但是“我們”把物理做對了。
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看完這邊我稍微統整一下，量子自旋霍爾效應現在已經改名為「拓樸絕緣體(Topological insulators」了。而且那三人雖然文章出的比Kane還快，但是真正把物理圖像說清楚的，還是要靠Kane和他的學生傅亮合著的那篇文章。很快的，在Kane的預言之下，三維拓樸絕緣體的實驗也馬上做了出來。一時之間的風起雲湧，Kane和Mele最終還是站在一個至高點上的。未來如果諾貝爾獎頒拓樸絕緣體，這兩個人名字也肯定是在上面的。
寫到這裡大家有沒有發現Haldane怎麼不見了？說實話，Haldane在整個過程中的貢獻確實不比上述其他科學家。但他就是第一個提出模型的人，你又能怎麼樣呢？不過之後Haldane還做另外一件很厲害的事情，就是把電子系統的拓樸概念，率先地引進到光和聲學等古典系統。換句話說，拓樸物理學並不是量子世界的專利，而是在所有的物理系統都有機會觀察到。這麼一來，本來從一塊餅，一個五餅二魚變成五塊餅，人人有得吃。這種成就，也算是非常非常厲害的。至於他是怎麼做到，在說明之下，我要先談談另一個人。這個人就是英國布里斯托大學物理系的奇人Sir Michael Berry (沒錯，他封爵了)。
就在Thouless發表他文章的二年後，英國布里斯托大學物理系的教授Michael Berry在英國皇家物理期刊發表了一篇文章，內容在描述一個很簡單的系統如下：「在量子力學的範疇下，一個粒子在空間繞一圈會發生什麼事？」就這樣，不要懷疑。你會說靠北這什麼好研究的？但如果你去看Michael Berry的研究，他就是只做自己有興趣的東西，曾經有陣子他和一個曼徹斯特大學的postdoc合作發了篇超導磁懸浮青蛙的研究，後來還靠了這個拿了搞笑諾貝爾獎(但別笑，這是很嚴肅的研究，而且這位postdoc之後靠石墨烯拿了真正的諾貝爾物理獎！)。另外，在一篇arXiv文獻上，Michael Berry還寫了一段最短的摘要如下
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1110/1110.2832.pdf
就是這麼一個有趣的物理學家，才會去思考一個大家認為完全沒意義，已經被研究透徹的問題。好，那Berry究竟發現了什麼？一般來說，我們在處理量子力學時變模態的時候，都會假設成兩部分：第一，時變項exp(-iEt/hbar)，一般稱為動力學相位dynamic phase；第二非時變項eigenstates |f(R(t))>，一般稱做特徵態。就算某些情況不能這樣簡單分解，我們也可以用傅立葉級數把它拆成很多這種項的疊加(阿說穿了就線性疊加啦，大二微分方程都教過！)。這種已經做了七八十年的做法，根本沒人懷疑有什麼問題。但Berry這人腦袋不知道想些什麼，他把一個大家遺忘的參數空間相位加了回去，也就是exp(i*x)，x=x(R(t))。這一項其實大家一開始把它丟了也是有道理，原因是它可以看做是t = 0 的起始相位，阿起始相位多少都可以，我們就直接設成零。那Berry究竟發現了什麼？1984年他發表了下面這篇文章(剛看一下被引用了7100次，2013我念博士才4000多，這幾年暴增3000多次。這篇文章簡單易懂，你會量力就可以讀，非常推薦。)。
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/392/1802/45
剛剛說被丟掉的那一個相位 x(R)，在我們保持量子態(adiabatic process)的條件下，走一圈路徑後居然不會回到原來的狀態，而是會多一個相位，而且那個相位的來源，就是我們之前丟掉的那一項。
你說這有什麼了不起的？
我來告訴你這有什麼了不起的！首先這個相位跟你的起點終點沒什麼關係，但跟你怎麼繞有很大的關係。舉個大家可能都聽過的例子：假設你永遠面向前，開始在赤道某處往東走，繞了1/4的地球後往北走，然後再往南走回到原點。你說怎麼轉兩個彎就回到原點？因為地球是球面，拿顆球來畫一下就知道。問題是，你回到原點之後，面向：1.東2.南3.西4.北。哪個方向？
答案是：2. 南邊
可是你出發是面向東邊，怎麼走一圈會面向南邊呢？
因為貝瑞相位(Berry phase)！這個多出來的90度相位，就是Berry 剛剛算出來的結果。同樣的情況，做光學的人可以玩玩看：把一個水平線偏振的光，轉成45度線偏振，再轉成圓偏振，最後再轉回水平偏振。你會發現，扣除光路所造成的動力學相位，你會發現多了一個pi/2相位。這個原本不知道哪裡來的東西，就是所謂的貝瑞相位。貝瑞相位的應用非常非常多，但Berry後來自己發現他並不是第一個提出這個幾何相位(Geometric phase，Berry當然沒有這麼不要臉叫他Berry phase)。在1956年，一位印度年輕的物理學家S. Pancharatnam 就曾經在光學系統上提出幾乎相同的概念。而我們的Berry還特別寫了一篇文放在自己的網頁上，紀念這位英年早逝的物理學家
https://michaelberryphysics.files.wordpress.com/2013/07/berry167.pdf
當然，後來人們叫貝瑞相位還是比較順口，所以你在大部分的文獻上，看到的也都還是貝瑞相位或是幾何相位。
說到這裡你可能又疑惑了，這和拓樸又有什麼關係？如記憶力好的人，或許還記的Thouless當初提出那篇TKNN數的公式長什麼樣子。如果你把它和貝瑞相位的公式兩相比較，你會發現他們倆個只相差了一個2*pi，而Thouless公式中的波向量k，就是貝瑞相位裡面的參數空間！換句話說，貝瑞相位就是陳數 乘上2*pi；陳數就是貝瑞相位 除上2*pi，兩個東西是一模一樣的！如果有sense的人又會問：「等等，貝瑞相位不是要在封閉迴路嗎？k空間可不是個封閉迴路阿！」。這個問題其實問得很好，而第一個真正搞清楚的人發表了下面這篇文章：
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.62.2747
這位Zak先生說，其實週期結構的布里淵區(Brillouin zone)是一個封閉空間，你從一個布里淵邊界走到另一端，由於布洛赫波函數(Bloch wave function)必定要重複，如此一來，就好像你從一端開始走，又回到了起點一樣，因此可以當成封閉空間。Zak就引進了這麼一個觀念，讓我們可以將貝瑞相位在k空間嚴格定義，進而算出每一個能帶的陳數！而當初Thouless在極低溫強磁場的條件下，能帶幾乎都是平的(所謂Landau能階)。但貝瑞相位的引入將物理解釋擴大成不限於強磁場極低溫的條件，只要你算出每個能帶的陳數不為零，就有可能產生類似量子霍爾效應的現象。這個結論直接帶出了後來的反常量子霍爾效應，所謂反常，就是在不加磁場的情況也會有QHE。那解釋就變的直觀，我不管加不加磁場，只要有非零的陳數能帶，在理論上就足以讓物理學家信服。直到最近，物理學家慢慢將這些名子同一起來，最近大家共同的叫法，已經大致統一為陳絕緣體(Chern insulators)。
剛剛前面有提到，貝瑞相位不限定在量子系統中，在光學等也可以看到；又說貝瑞相位和拓樸有直接連結，那是不是代表類似於量子霍爾效應的現象，可以在光學系統中重現呢？答案是肯定的！2008年(離現今越來越進囉)，兩篇文章發在了PRL上
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.013904
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.013905
第一篇就是我們鼎鼎大名Haldane啦！第二篇則是MIT的一個組，而且這個組就是培養出Robert Laughlin和Eugene Mele這兩個怪物的超強組。兩篇文章是PRL的前後篇，但如果你讀內容，你會發現風格非常不一樣。Haldane這篇維持他一貫的風格：數學很抽象，語言更抽象，物理很強大，但要人翻譯。而MIT這個的寫法就親民多了，懂光子晶體的人，應該都看得懂。但是，Haldane這篇其實是先投上arXiv，然後做光學的人看無，就沒人理他(幫好蛋爺爺QQ)。後來是MIT這個組，做相同概念但卻看到了這篇文章。就寫了一篇翻譯版，兩人手牽手一起發PRL(雖然我估計Joannopoulos絕對和Haldane打過招呼了)。後來MIT這個組也把實驗做了出來：
http://www.nature.com/nature/journal/v461/n7265/full/nature08293.html
至此，拓樸學正式引入了光學系統中。之後，大家開始玩各種波的拓樸態，聲波啦，水波啦，彈性波啦，只要是波通通可以玩。相關的實驗也一直發表。所以說，Haldane光是將拓樸率先引入古典系統這點，就值得大書特書，讓人好好尊敬一番。
我想，最後我就停在這個實驗做出來的2009年。從那年到現在已經過了七年，而我有幸參與了三年多的時光。我是認真的覺得這個題目雖然說不上有什麼用，但真得很有趣，很物理。也因為這樣，我強迫自己讀了一些拓樸學，為了念懂進階固體物理，又讀了群論。在邊做的過程中，也邊學了很多東西。說實話，我覺得四年真的太短了。如果我沒有時間和金錢壓力，我是願意把東西學全才畢業的。不過，我的物理人生還很長，無論我最後去了那裡，這些固態物理相關的學問，我還是會不斷的汲取的。
以上
[註1]：在當時大家對於拓樸學和物理的連結還不是這麼熟悉的時候，這個數一般稱做為TKNN數，TKNN是四個作者姓的開頭，而T當然就是我們的Thouless。至於何謂陳數，大家可以自己去Google陳省身，Chern是這位大數學家的英文姓；或是Frank Liu有興趣也可以來幫我們科普一下拓樸學。但大家Google的時候要注意一下，因為很有可能你只會找到一堆甜甜圈，馬克杯和籃球。
[註2] Joel Moore和Leon Balents分別是在UC Berkeley和UC Santa Barbara 做固態理論的兩位神，現今仍十分活躍
Theoretical discoveries of topological phase transition and topological phases of matter.
這短短的一句話其實包含了很多物理在裡面。首先來個名詞翻譯，讓各位有關鍵字可以自己去查中文相關的資料。phase transition，一般物理上稱之為相變，本身就是一個非常大的研究主題；接著，topological phase，一般翻譯做拓樸相(位)。學過波動物理的人對相位應該不太陌生，但這裡的相位其實不太一樣，稍候做解釋；最後合起來叫topological phase transition，其實我認為得獎最主要是這個部分，為什麼，我們要先解釋一下前兩樣名詞。
先談談相變，其實相變天天發生在生活之中。各位中學物理就學過，水結冰降到零度變固體，升溫到沸點變成水蒸氣。同樣的水，就有三種不同的「狀態」。而每一種狀態，物理上我們把他稱為一種「相」；而相與相之間的變化，就叫做相變。說到這裡你可能以為故事結束了，但其實不然。因為隨著科學的進展，我們發現其實液體(liquid)和氣體(gas)其實差不多，組成都是一群亂糟糟的原子或分子，只是液體粒子間距離比較近，作用力比較強；氣體粒子之間隔的超遠，作用力很薄弱。但從物理的角度上來看，其實並沒有太大的不同。甚至到後來，乾脆給這兩個東西一個名字，叫做流體(fluid)。在物理中有門學科就叫做流體力學(Fluid Mechanics)，是一門很難(滿滿的非線性方程)，但卻很有用的學問。小至毛細現象，大到氣象科學都跟流體力學有關。詳細有關流體力學就不提，因為和接下來要說的關係不大。
當人們把液體氣體統一叫做流體的時候，原本我們所稱呼的「液氣相變」就不存在了，因為這兩個「相」現在是同樣的東西，何來相變可言？因此，既然傳統的分法不適用，那科學家們就要創造新的法則來分類。那該怎麼辦呢？如果我們比較「固體」和「流體」，還記得我說過流體的分子或原子排列是亂糟糟嗎？所謂亂糟糟，就是沒有規則，但固體可就完全不是這麼回事了。隨著顯微技術的進步，人類已經可以直接「看到」原子是一顆顆排的整整齊齊。如此一來，我們就把「排的整齊的」和「排的亂亂的」分成兩組。於是乎，一門專門討論「排得整齊的」學科叫「固態(體)物理」就出現了。固態物理的內容包山包海，幾乎觸及我們生活的每一個部分。我們所熟知的半導體就是屬於固態物理的範疇；而現在硬碟容量動輒好幾TB，則是固體物理的分支磁性物理的研究成果；再來2014年的諾貝爾獎LED，也是固體物理中光電材料的分支。所以舉凡研究固體特性的學科，通通包含在固體物理這個大傘之下。而這次獲得諾貝爾獎的拓樸相變，也是其中之一。
如同我們前面提過，相變可以看做是一種狀態的改變。在古早時期人類對於自然的認知只有固液氣三態。但就在距離今天一百多年前，一件很重要的事情發生了，那就人類首次觀測到超導現象(Superconductivity)。超導的發現困惑了當時所有的人，沒有人知道他是為什麼會發生，我們可以掌握的只有一些實驗參數。而當時超導有一件非常非常重要的事，那就是必須在極低溫的環境下才能觀測到。多低呢？4K，4K是多低呢？大概攝氏零下269度。因為和溫度有了連結，人們很容易連結到古早時我們那個冰融化變水，水蒸發變水蒸氣的經驗。也因為超導的特性實在和一般物質太不相同(零電阻)，於是我們就稱這個變成超導當下的溫度叫「臨界溫度」，如同我們看待融點和沸點一般。而臨界溫度左右兩端的「狀態」的轉變，我們就叫做「超導相變」。而就在大量的研究後，我們發現一個事情極為關鍵，那就是對稱性。
對稱性其實沒有什麼了不起，大家都懂對稱性。正方形轉90度會變回自己，長方形就不行，所以正方形比長方形「對稱」。但真正了不起的地方是，你要怎麼把上面這些「語言」轉化成科學家喜歡的「數學」。這門學科，就叫做群論。20世紀初期由於矩陣理論的蓬勃發展，給了群論更多的養分茁壯。現在群論幾乎深入了固態物理的每一個角落，好像不談點群論就不會物理一樣。那為什麼我們又需要群論來搞定對稱性？先這樣說，我們剛剛提過，固體內部的原子會排得整整齊齊，但整整齊齊有很多種方法可以整整齊齊。你可以堆的四四方方(正方晶體)；你也可以堆的四四方方，但在中間小空隙在塞一顆球(體心立方)；也可以像水果攤賣水果，把橘子堆成小山(最密堆積)。因為排列的方式太多了，我們需要一個數學來描述這樣的物理圖像，這時候群論就當仁不讓地出來carry了。有了群論，我們就可以去探究固體的對稱性，並根據這些結果，再度「分類」固體。耶！所以我們現在可以把固體，因為對稱性的不同，分得更清楚更詳細了。
那對稱性究竟和相變有什麼關係？這個之間的連結可就完全超過科普的範圍了。相關的理論主要是由大物理學家Landau所發展。身為開山祖師，Landau一部分(不要懷疑，真的只是一部分)的研究就在探討對稱性和相變之間的關係，而Landau的同事Ginzburg甚至把這份理論應用在超導相變上，得到了非常好的結果。至此人們已經意識到對稱性在固態物理中似乎有著超乎想像的重要地位，而這一切都必須要感謝Landau和他的同事與學生們在距今70-80年前的努力。說到這裡，其實故事還沒有結束。根據Landau的理論，他預言在二維系統中，在有限溫度下不可能存在「有序相」，有序相你可以把他看做一種排的整整齊齊的狀態。而在二維系統中，一點點溫度所造成的粒子擾動都足以破壞這個有序相。不過，這個預言在1973年被Kosterlitz和Thouless打臉(有本事打臉Landau是一種榮幸)。Kosterlitz和Thouless考慮一個二維磁性模型(鼎鼎大名的XY model)，他們發現縱使在非零溫度的條件下，仍然可以存在相變，也就是著名的KT (phase) transition。而這個相變和之前提出的對稱性理論又有所不同，這種相的轉變會對應到一個拓樸學數(後面會在解釋這是什麼)。也就是說，當相變發生的時候，這個數字就會產生變化(例如從1->2)。就好比自然界有一個顯示表，當他變化的時候，上面的數字會跟著變化，借此告訴你它變了。這個Landau理論沒有預言到相變，代表了他的對稱性理論似乎還存在著些漏洞。而KT兩人所提出的和拓樸學連結的相變，似乎將這塊布掀起了一角，偷偷窺探到了其中的一些秘密。
故事說到這邊要稍微轉個主題，我們來談談另一個外表看似無關，內容卻異常相似量子霍爾效應(Quantum Hall effect)，一般又稱整數霍爾效應(integer QHE)。但在談量子霍爾效應前，就不得不談談150年前所提出的傳統霍爾效應。約150年前，霍爾這位年輕人提出了一個很簡單的概念，簡單到我認為應該當做高中物理教材。這概念就是，如果我們把一塊導電的材料加常數磁場於z方向。接著在x方向加電壓讓他通電，由於勞倫茲力的關係，除了原本在x方向會測量到電流之外，在y方向我們也可以量到一些電流。這個橫向電流我們就把它叫做霍爾電流，而兩端的電壓就叫做霍爾電壓，將霍爾電壓除以霍爾電流，我們就可以得到霍爾電阻(R=V/I，國中理化)。不過物理學家發現，其實在固態材料中，電導率做為電阻的倒數，是對於材料電性更為重要的參數，所以這邊我們就再定義電導率叫做S好了。事情就這麼經過一百年，一個看似用高中物理就能解釋的現象，在1970年代卻掀起了巨大的波瀾。1980年，德國物理學家Klaus von Klitzing與他的快樂夥伴在PRL上發表了一篇震古鑠今的論文：
http://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.45.494
文章內提到在極低溫(<10K)，強磁場(>1T)的條件下，他們觀察到隨著磁場強度階梯式分布的霍爾電導率S。這件事情非常非常地詭異，原因是物理世界變化常常都是連續的，像階梯一樣的分布是當初絕對沒有預期到的現象。更厲害的是，這個階梯式的電導率的值正好等於3.86e-5*n，n在這裡等於正整數。這下好啦，除了原子內分布之外，我們居然又在另一個地方找到了這種量子現象。而von Klitzing也因為這項成就，在五年後就拿到了諾貝爾物理獎，而且還是一人獨得。但von Klitzing是實驗物理學家，他留下兩個巨大的謎團，那就那個整數n到底是哪裡來的阿？前面的3.86e-5又是怎麼得到的？幸運的是，這個問題在兩年內就獲得了解決，出馬的就是這次的諾貝爾獎得主Thouless。Thouless於1982年在PRL上和同事們發表了一篇文章
http://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.49.405
這篇文章提出了一個很簡單的模型(至少對訓練有素的固體物理學家很簡單)。Thouless等人提出了一個單電子模型，在週期位能的情況下，在強磁場引入Landau規範(Landau gauge)，就能算出Landau能階(Landau level) (你沒看錯是同一個Landau)，就可以算出在這個系統中的電導率為 S=(e^2/h)*n，其中e是電子電量1.6e-19庫倫，h是普郎克常數6.626e-34，你把這兩個常數代入上面式子，你會發現正好等於3.86e-5。而那個n又是怎麼回事，Thouless在文章裡提到如何求出n(物理人要讀paper請看Eq. 5)，當時他發現這個式子在數學上居然一定會是一個非負整數，這個非負整數剛剛好對應到數學領域中，拓樸學的Gauss-Bonnet定理，而這個非負整數則稱為陳數(Chern number)[註1]。河裡雪，要是我這輩子有一個這樣的發現，我大概可以吹噓一百年。因為在物理上，這類的發現真的真的不多。但我想在1973年就把拓樸引入物理的Thouless，這可以說是在自然不過的現象了。而再次把拓樸引進物理的Thouless，兩項偉大的成就讓他理所當然地分了這次1/2的諾貝爾獎金囉！
說到這裡我們就可以再次回到相變之中。前面我們已經提到Thouless藉由拓樸學，擴展了我們對相變的分類。而新發現的量子霍爾效應，也馬上被他納入了拓樸分類學的範疇之中。可是，物理學家馬上發現了新的問題。剛剛提到，拓樸分類相較於對稱性分類，是一種更為廣義的理論。所謂廣義，就是除了可以預言新的現象，對於舊的結果也要一併的包容。如果不能包容，那代表一定還有什麼沒考慮清楚。可是對於量子霍爾效應，相關的材料的對稱性其實都研究過了，並無法預言會有這麼神奇的現象發生。那拓樸學應用在這個地方，為何會出現不同的結果呢？答案就在於因為我們加了磁場的原故。在我們考慮「排得整齊的」物體對稱性之前，其實還有兩個對稱性是所謂「universal」的。也就是無論在任何物理系統，如果你沒有特別對它做什麼事，這兩樣對稱性基本上它都會存在。而這兩個universal symmetries，一個是所謂空間反轉對稱性；另一個則是時間反演對稱性。所謂空間反轉對稱性，又被稱為宇稱(Parity)。沒錯你猜對了，就是楊振寧李振道所提出的宇稱不守恆裡面的宇稱。就是在空間中，你把宇稱運算子P作用在空間函數上，如果P[f(r)]=f(r)，這個系統就叫做偶宇稱；如果P[f(r)]=f(-r)，這個系統就叫做奇宇稱。但無論是什麼宇稱，量子霍爾效應都沒有牽涉到破壞宇稱這件事。那合理懷疑，兇手肯定就是時間反演對稱性囉！(神推理)。沒錯一個系統如果加了磁場，它的時間反演對稱性就會被破壞，至於為什麼會被破壞這邊就不解釋啦，有興趣的人可以藉由法拉第磁光效應來想想看為什麼磁場會破壞時間反演對稱。OK，到這裡我們的知識又稍為拓展一點點，原本我們已經知道對稱性是決定物質相變的原因對吧？那有對稱性會產生相變，那把原本有的對稱性搞到沒有了(破壞對稱性)，是不是也會產生相變呢？答案當然是肯定！也就是說，對物理學家來講，物質相的轉變，對應到一個對稱性的改變，無論是從無到有(水結冰變固體，或是水結晶成漂亮的雪花)，還是從有到無(加磁場破壞時間反演對稱)，甚至是從A對稱變到B對稱(固體低溫時的超導相變)。這個觀念超級無敵霹靂宇宙重要，只要有了這個概念，對於很多的物理現象，你就能做出一個定性的描述了。所以說到這裡，人們終於了解，對稱性和拓樸相是一體兩位的東西。但拓樸相位更近一步的把原本較為狹隘的晶體對稱性，拓展到了所有的對稱性。這件事看似只是一個小小的進展，但後面可以延伸出的相當多的物理，其中一項分支就是所謂的拓樸絕緣體(Topological insulators)。別小看這個分支，它可算是近十年固態物理中發展最火熱的研究項目。而拓樸絕緣體跟誰有關係呢？三個人還沒提到誰？當然就是普林斯頓大學的Haldane囉。
其實在Thouless把拓樸學引進物理前後，同時期還有許多物理學家試圖對QHE做出物理解釋，其中一個最有名的就是Robert Laughlin。Laughlin這個人很有趣，有趣到一定要稍微提一下。當初他提出QHE的解釋，雖然內容後來證明和拓樸理論等價，但當時其實和拓樸沒有直接關連(有興趣的人可以查一下 Laughlin pump)，不過他的圖像仍然可以說明那個神奇的非負整數n是哪裡來的。有趣的是Laughlin根據自己提出的理論，表示這個n除了整數絕對不會有其他情況了。結果就在1982年，崔琦等人再重複von Klitzing的實驗時，就測到了這個n可以是分數。被打臉的Laughlin自己再提出一套修正理論否定過去的自己，然後和崔琦，Stoemer拿了1988年的諾貝爾物理獎。所以說，人有時候否定自己也不一定是一件壞事。
另一個同時期對QHE研究的人就是Haldane了，只不過Haldane的思路是走另外一條線。Haldane當初提出了一個問題：「有沒有可能在不加磁場的情況下，就可以打破時間反演對稱，進而得到量子霍爾效應呢？」為了解決自己提出的問題，Haldane提出了一個看起來根本不可能實現的模型(就叫Haldane model)。
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.61.2015
他假設一個物質原子排列是蜂巢結構 (真的叫蜂巢結構，英文原名就是honeycomb lattice)。在每個正六邊形中心我放一個磁場，在每六個原子我放六個反方向磁場，且每個是中心強度的六分之一。只要這麼做，雖然我加了磁場，但總和是零(自我感覺良好的不加磁場，你爸媽平均有一顆睪丸的概念)。如此一來，就可以在零磁場條件下，得到量子霍爾效應。雖然Haldane證明了是可以產生量子霍爾效應，連陳數他都一起算好了，但這個模型真的太過天馬行空了。雖然1988年這篇文章在PRL上發表，但卻沒有受到太多人注意。因為這麼詭異磁場分布，實驗上怎麼有可能做的到。於是，Haldane這個模型就從1988年一直被放阿放的。中間他也做了一些其他的事，例如磁性相關的研究。但這篇文章的關注度，一直都不是太高。
可是事情在2005年產生了重大的變化。05和06年可說是拓樸軍團大獲全勝的時期，而濫觴就是下面這篇可能未來諾貝爾獎候選文章：
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.95.226801
2005，費城的賓州大學(巨嬌出來面對！)兩位物理系教授 Charles Kane和Eugene Mele在PRL上(有沒有發現神文都是刊在PRL)發表一篇文章。內容很簡單，探討快被大家遺忘的Haldane模型有沒有被實現的可能性。他們提出，在石墨烯上(天生Honeycomb lattice)，如果考慮由內稟自旋軌道耦合效應(intrinsic spin-orbit coupling)所產生的磁場，是有可能實現Haldane模型的。更厲害的是，對於電子自旋向上是一種Haldane模型，兩個上下自旋加在一起看的時候，靠北阿時間反演對稱性又跑回來啦！等下等下等下，你說時間反演對稱又跑回來？那還有沒有量子霍爾效應？有！但這個量子霍爾效應不一樣，他一定要考慮自旋對於系統的影響，於是我們給它另一個名字，叫做：「量子自旋霍爾效應」。停停停再暫停！我們回顧一下前面說了什麼：「物質相的變化，對應到一個對稱性的變化」。那我們開始從有時間反演對稱，到破壞時間反演對稱，現在又有時間反演對稱了。對稱性是不是又產生變化了？是！所以，這是一個新的物質相(態)嗎？Kane和Mele在這篇文章上，最重要的部分反而是在這個問題上。但他們只給出了像是Thouless算出來的電導率公式(請看paper第五式)，反而大家最感興趣的問題沒回答。不過，這兩個人當然意識到重點在哪裡，馬上又補了一篇PRL出來
http://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.95.146802
這篇文章就真正的奠定了他們倆的地位。在文章他們提出了不同於Thouless的拓樸性質。前面說過Thouless算出的陳數是非負整數，用現在的術語來說叫做Z拓樸不變量(Z topological invariant，Z就是高中數學整數的意思)；而Kane和Mele兩人提出了一個叫做Z2拓樸不變量(Z2 topological invariant)。相較於Z拓樸不變量可是任意非負整數，Z2拓樸不變量只能是0或是1。如果要問為什麼會這樣，其實就跟時間反演對稱性有關。但我知道說下去就不是科普了，所以我就此打住。想了解的人，自行估狗 Z2 topological invariant，就可以找到一大堆文獻可以看。也就是說，如果用拓樸學分類的話，Z2的的確確是前所未見的物質態！故事到這邊可還沒有結束。06年的時候，史丹佛大學的張首晟教授率先將第一個量子自旋霍爾效應的實驗做了出來，真正的Z2物質態霸氣登場，橫空出世了。值得一提的是，張首晟教授的系統並不是利用石墨烯。由於石墨烯的自旋軌道耦合非常的弱，所以他利用了HgTe量子井形成的二維界面來得到量子自旋霍爾效應：
http://science.sciencemag.org/content/314/5806/1757
由於是不太相同的系統，為了分辨，物理學家將Kane和Mele提出的模型稱為 Kane-Mele (KM) 模型；而張首晟與他的學生B. A. Benervig和Taylor Hughes 所提出的系統則稱做BHZ模型。
到這裡Z2拓樸學在固態物理界可說是炸開了，所有人都想進場分一杯羹。但一部份的物理學家(包含KM兩人)更進一步的問，這種Z2拓樸材料有沒有可能在三維世界實現。要知道當初量子霍爾效應是一個二維現象；量子自旋霍爾效應的模型也是在石墨烯或是量子井中實現。有沒有可能，在三維世界中得到量子自旋霍爾效應呢？在這邊其實超級有戲，因為同時期太多人再搶這個三維的頭香。我以下轉述一名中國研究生，在APS年會上演講聽Charles Kane所提到的整個過程，真的比我自己寫還精彩：
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整個報告最精彩的部分是Kane回憶在二維系統的量子自旋霍爾態理論建立後，整個學界爭先恐後向三維進發的過程("Race to Three Dimensions")。聽完之後最大的感觸便是,"商場如戰場"。對於奮鬥在前沿的這些大佬來說，每時每刻都處於戰爭狀態，一不留神就貽誤了戰機。讓我們把時鐘回撥到2006年的夏天。七月初的費城，晴空萬里，豔陽高照。Charles Kane教授在自己的辦公室親切會見了來訪的Liang Fu同學。賓主雙方進行了親切友好的會談。Kane關切地詢問了Liang Fu同學相關科研的進展情況。
當時的情況是，Kane和Mele剛剛發表了幾篇驚世駭俗的文章，包括"Quantum Spin Hall Effect in Graphene"，引用863次(剛查的數據，下同)；“Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect”，引用769次。他們證明瞭在剛問世的石墨烯材料裡面有可能產生一種全新的拓撲相，是1980年代量子霍爾效應以來第一個真正全新的相(phase)。同時他們提出了一個Z2數來劃分二維空間中的絕緣體：當Z2為偶數時，系統是平凡的絕緣體，並且任何邊緣態都沒法穩定存在，很容易就可以破壞掉。但是當Z2為奇數時，系統就處於所謂的量子自旋霍爾態(下稱QSH態，Quantum Spin Hall state)，並且系統的邊緣態是受時間反演對稱性保護的。與此同時，大家知道，整數量子霍爾效應(下稱QH態，Quantum Hall態)只在二維成立；三維材料裡面至多是二維霍爾效應的平凡疊加，沒有本質不同。於是整個學界就在想，QSH態能否推廣到三維呢？
據Kane的描述，Liang Fu認為三維系統有多個不同的Z2數("I think there are multiple Z2 invariants in 3D.")，而Kane堅持認為只有一個("I think there is just one, which specifies an even or odd number of surface Dirac points.")。他們的爭論非常激烈，而且僵持不下("We had several heated discussions.")。就這樣來來去去幾個回合之後，7月12日早上，Kane正在翻閱arXiv（靠，大牛們每天早上批閱arXiv，我們每天早上批閱校內雜誌），突然，看到一個叫Joel Moore的傢夥與Leon Balents [註2] 連夜發了一篇日誌，叫做《論時間反演不變的能帶中的拓撲不變數》("Topological invariants for time-reversal invariant band structures")。其中他們用數學中的Homotopy理論證明瞭三維空間實際上可以用四個Z2數來窮盡所有可能存在的不同能帶結構("Homotopy theory for 4 Z2 invariants in 3D")，並且順便大筆一揮，把三維空間中具有非零Z2數的材料命名為拓撲絕緣體(Topological Insulator——沒錯，這名字就是這麼來的)。Kane心裡一沉（"My heart suddenly stinks"，至於有沒有停跳兩秒鐘就不知道了。。。)，真是氣不打一處來，媽的，你不僅趕在我面前把結果給搞出來，連名字都起完了，那我幹什麼吃的！於是Kane趕忙給Liang Fu寫郵件，說你看了Joel Moore的文章了嗎？我想他們是對的，你也是，我們得抓緊了("I think they are right, so do you. We need to hurry now.")! 誰知，一波未平一波又起。就在一周後的7月20日，Kane在批閱校內，哦，不是，arXiv時又看到了一篇新的日誌，居然是一個叫Rahul Roy的博士生寫的。他在沒有任何人指導的情況下給出了一組拓撲數，能完整分類三維情況下符合時間反演對稱性的所有哈密頓量，並且預測說三維的QSH態(就是一周前某人剛給冠名的"Topological Insulator")是與二維QSH本質上不同的態(寫到這裡，我覺得和Roy比起來我可以直接去死了)。這下Kane要瘋了，還讓不讓人活了！當年爺預測二維QSH態時可是獨領風騷的(雖然沒多久就被人指出在Graphene的自選軌道耦合太弱，以至於Kane的模型只有在極低溫下才能實現，這是後話了)，難道這麼快就要被掃進歷史的垃圾堆了？不甘心啊不甘心，Liang Fu你快點做，我們再不咬一口這個蛋糕就沒了。好在Liang Fu還是很給力的，他們在7月26日在arXiv上終於發了一篇日誌，題為《三維空間中的拓撲絕緣體》("Topological insulators in Three Dimensions")。這篇文章的亮點在於，他們完整地描述了三維拓撲絕緣體的表面態應該有的性質("Chracterized surface states")，提出了強拓撲絕緣體和弱拓撲絕緣體的概念("Strong vs. weak TIs")，並且給出了一個具體的模型("Explicit model")。這篇文章也是奠基性的，至今引用數超過426次(現在上千次了)。在回顧了這段歷史後，Kane意味深長地說，他們(指Joel Moore、Leon Balents以及Rahul Roy)都是數學上的天才，成功地用Homotopy的理論完成了分類，但是“我們”把物理做對了。
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看完這邊我稍微統整一下，量子自旋霍爾效應現在已經改名為「拓樸絕緣體(Topological insulators」了。而且那三人雖然文章出的比Kane還快，但是真正把物理圖像說清楚的，還是要靠Kane和他的學生傅亮合著的那篇文章。很快的，在Kane的預言之下，三維拓樸絕緣體的實驗也馬上做了出來。一時之間的風起雲湧，Kane和Mele最終還是站在一個至高點上的。未來如果諾貝爾獎頒拓樸絕緣體，這兩個人名字也肯定是在上面的。
寫到這裡大家有沒有發現Haldane怎麼不見了？說實話，Haldane在整個過程中的貢獻確實不比上述其他科學家。但他就是第一個提出模型的人，你又能怎麼樣呢？不過之後Haldane還做另外一件很厲害的事情，就是把電子系統的拓樸概念，率先地引進到光和聲學等古典系統。換句話說，拓樸物理學並不是量子世界的專利，而是在所有的物理系統都有機會觀察到。這麼一來，本來從一塊餅，一個五餅二魚變成五塊餅，人人有得吃。這種成就，也算是非常非常厲害的。至於他是怎麼做到，在說明之下，我要先談談另一個人。這個人就是英國布里斯托大學物理系的奇人Sir Michael Berry (沒錯，他封爵了)。
就在Thouless發表他文章的二年後，英國布里斯托大學物理系的教授Michael Berry在英國皇家物理期刊發表了一篇文章，內容在描述一個很簡單的系統如下：「在量子力學的範疇下，一個粒子在空間繞一圈會發生什麼事？」就這樣，不要懷疑。你會說靠北這什麼好研究的？但如果你去看Michael Berry的研究，他就是只做自己有興趣的東西，曾經有陣子他和一個曼徹斯特大學的postdoc合作發了篇超導磁懸浮青蛙的研究，後來還靠了這個拿了搞笑諾貝爾獎(但別笑，這是很嚴肅的研究，而且這位postdoc之後靠石墨烯拿了真正的諾貝爾物理獎！)。另外，在一篇arXiv文獻上，Michael Berry還寫了一段最短的摘要如下
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1110/1110.2832.pdf
就是這麼一個有趣的物理學家，才會去思考一個大家認為完全沒意義，已經被研究透徹的問題。好，那Berry究竟發現了什麼？一般來說，我們在處理量子力學時變模態的時候，都會假設成兩部分：第一，時變項exp(-iEt/hbar)，一般稱為動力學相位dynamic phase；第二非時變項eigenstates |f(R(t))>，一般稱做特徵態。就算某些情況不能這樣簡單分解，我們也可以用傅立葉級數把它拆成很多這種項的疊加(阿說穿了就線性疊加啦，大二微分方程都教過！)。這種已經做了七八十年的做法，根本沒人懷疑有什麼問題。但Berry這人腦袋不知道想些什麼，他把一個大家遺忘的參數空間相位加了回去，也就是exp(i*x)，x=x(R(t))。這一項其實大家一開始把它丟了也是有道理，原因是它可以看做是t = 0 的起始相位，阿起始相位多少都可以，我們就直接設成零。那Berry究竟發現了什麼？1984年他發表了下面這篇文章(剛看一下被引用了7100次，2013我念博士才4000多，這幾年暴增3000多次。這篇文章簡單易懂，你會量力就可以讀，非常推薦。)。
http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/392/1802/45
剛剛說被丟掉的那一個相位 x(R)，在我們保持量子態(adiabatic process)的條件下，走一圈路徑後居然不會回到原來的狀態，而是會多一個相位，而且那個相位的來源，就是我們之前丟掉的那一項。
你說這有什麼了不起的？
我來告訴你這有什麼了不起的！首先這個相位跟你的起點終點沒什麼關係，但跟你怎麼繞有很大的關係。舉個大家可能都聽過的例子：假設你永遠面向前，開始在赤道某處往東走，繞了1/4的地球後往北走，然後再往南走回到原點。你說怎麼轉兩個彎就回到原點？因為地球是球面，拿顆球來畫一下就知道。問題是，你回到原點之後，面向：1.東2.南3.西4.北。哪個方向？
答案是：2. 南邊
可是你出發是面向東邊，怎麼走一圈會面向南邊呢？
因為貝瑞相位(Berry phase)！這個多出來的90度相位，就是Berry 剛剛算出來的結果。同樣的情況，做光學的人可以玩玩看：把一個水平線偏振的光，轉成45度線偏振，再轉成圓偏振，最後再轉回水平偏振。你會發現，扣除光路所造成的動力學相位，你會發現多了一個pi/2相位。這個原本不知道哪裡來的東西，就是所謂的貝瑞相位。貝瑞相位的應用非常非常多，但Berry後來自己發現他並不是第一個提出這個幾何相位(Geometric phase，Berry當然沒有這麼不要臉叫他Berry phase)。在1956年，一位印度年輕的物理學家S. Pancharatnam 就曾經在光學系統上提出幾乎相同的概念。而我們的Berry還特別寫了一篇文放在自己的網頁上，紀念這位英年早逝的物理學家
https://michaelberryphysics.files.wordpress.com/2013/07/berry167.pdf
當然，後來人們叫貝瑞相位還是比較順口，所以你在大部分的文獻上，看到的也都還是貝瑞相位或是幾何相位。
說到這裡你可能又疑惑了，這和拓樸又有什麼關係？如記憶力好的人，或許還記的Thouless當初提出那篇TKNN數的公式長什麼樣子。如果你把它和貝瑞相位的公式兩相比較，你會發現他們倆個只相差了一個2*pi，而Thouless公式中的波向量k，就是貝瑞相位裡面的參數空間！換句話說，貝瑞相位就是陳數 乘上2*pi；陳數就是貝瑞相位 除上2*pi，兩個東西是一模一樣的！如果有sense的人又會問：「等等，貝瑞相位不是要在封閉迴路嗎？k空間可不是個封閉迴路阿！」。這個問題其實問得很好，而第一個真正搞清楚的人發表了下面這篇文章：
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.62.2747
這位Zak先生說，其實週期結構的布里淵區(Brillouin zone)是一個封閉空間，你從一個布里淵邊界走到另一端，由於布洛赫波函數(Bloch wave function)必定要重複，如此一來，就好像你從一端開始走，又回到了起點一樣，因此可以當成封閉空間。Zak就引進了這麼一個觀念，讓我們可以將貝瑞相位在k空間嚴格定義，進而算出每一個能帶的陳數！而當初Thouless在極低溫強磁場的條件下，能帶幾乎都是平的(所謂Landau能階)。但貝瑞相位的引入將物理解釋擴大成不限於強磁場極低溫的條件，只要你算出每個能帶的陳數不為零，就有可能產生類似量子霍爾效應的現象。這個結論直接帶出了後來的反常量子霍爾效應，所謂反常，就是在不加磁場的情況也會有QHE。那解釋就變的直觀，我不管加不加磁場，只要有非零的陳數能帶，在理論上就足以讓物理學家信服。直到最近，物理學家慢慢將這些名子同一起來，最近大家共同的叫法，已經大致統一為陳絕緣體(Chern insulators)。
剛剛前面有提到，貝瑞相位不限定在量子系統中，在光學等也可以看到；又說貝瑞相位和拓樸有直接連結，那是不是代表類似於量子霍爾效應的現象，可以在光學系統中重現呢？答案是肯定的！2008年(離現今越來越進囉)，兩篇文章發在了PRL上
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.013904
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.100.013905
第一篇就是我們鼎鼎大名Haldane啦！第二篇則是MIT的一個組，而且這個組就是培養出Robert Laughlin和Eugene Mele這兩個怪物的超強組。兩篇文章是PRL的前後篇，但如果你讀內容，你會發現風格非常不一樣。Haldane這篇維持他一貫的風格：數學很抽象，語言更抽象，物理很強大，但要人翻譯。而MIT這個的寫法就親民多了，懂光子晶體的人，應該都看得懂。但是，Haldane這篇其實是先投上arXiv，然後做光學的人看無，就沒人理他(幫好蛋爺爺QQ)。後來是MIT這個組，做相同概念但卻看到了這篇文章。就寫了一篇翻譯版，兩人手牽手一起發PRL(雖然我估計Joannopoulos絕對和Haldane打過招呼了)。後來MIT這個組也把實驗做了出來：
http://www.nature.com/nature/journal/v461/n7265/full/nature08293.html
至此，拓樸學正式引入了光學系統中。之後，大家開始玩各種波的拓樸態，聲波啦，水波啦，彈性波啦，只要是波通通可以玩。相關的實驗也一直發表。所以說，Haldane光是將拓樸率先引入古典系統這點，就值得大書特書，讓人好好尊敬一番。
我想，最後我就停在這個實驗做出來的2009年。從那年到現在已經過了七年，而我有幸參與了三年多的時光。我是認真的覺得這個題目雖然說不上有什麼用，但真得很有趣，很物理。也因為這樣，我強迫自己讀了一些拓樸學，為了念懂進階固體物理，又讀了群論。在邊做的過程中，也邊學了很多東西。說實話，我覺得四年真的太短了。如果我沒有時間和金錢壓力，我是願意把東西學全才畢業的。不過，我的物理人生還很長，無論我最後去了那裡，這些固態物理相關的學問，我還是會不斷的汲取的。
以上
[註1]：在當時大家對於拓樸學和物理的連結還不是這麼熟悉的時候，這個數一般稱做為TKNN數，TKNN是四個作者姓的開頭，而T當然就是我們的Thouless。至於何謂陳數，大家可以自己去Google陳省身，Chern是這位大數學家的英文姓；或是Frank Liu有興趣也可以來幫我們科普一下拓樸學。但大家Google的時候要注意一下，因為很有可能你只會找到一堆甜甜圈，馬克杯和籃球。
[註2] Joel Moore和Leon Balents分別是在UC Berkeley和UC Santa Barbara 做固態理論的兩位神，現今仍十分活躍
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